MECÂNICA GRACELI GENER. - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [780]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

Em física , a equação de Majorana é uma equação de onda relativística . É nomeado após o físico italiano Ettore Majorana , que o propôs em 1937 como um meio de descrever férmions que são sua própria antipartícula . ^[1] As partículas correspondentes a esta equação são denominadas partículas de Majorana , embora esse termo agora tenha um significado mais amplo, referindo-se a qualquer partícula fermiônica (possivelmente não relativística) que seja sua própria antipartícula (e, portanto, eletricamente neutra).

Houve propostas de que neutrinos maciços são descritos por partículas de Majorana; existem várias extensões para o Modelo Padrão que permitem isso. O artigo sobre partículas de Majorana apresenta status para as buscas experimentais, incluindo detalhes sobre neutrinos. Este artigo enfoca principalmente o desenvolvimento matemático da teoria, com atenção às suas simetrias discretas e contínuas . As simetrias discretas são conjugação de carga , transformação de paridade e reversão de tempo ; a simetria contínua é a invariância de Lorentz .

A conjugação de carga desempenha um papel descomunal, pois é a simetria chave que permite que as partículas de Majorana sejam descritas como eletricamente neutras. Um aspecto particularmente notável é que a neutralidade elétrica permite que várias fases globais sejam escolhidas livremente, uma para os campos quirais esquerdo e direito . Isso implica que, sem restrições explícitas nessas fases, os campos de Majorana estão naturalmente violando CP . Outro aspecto da neutralidade elétrica é que os campos quirais esquerdo e direito podem receber massas distintas. Ou seja, a carga elétrica é uma invariante de Lorentz e também uma constante de movimento ; Considerando que a quiralidade é uma invariante de Lorentz, mas não éuma constante de movimento para campos massivos. Os campos eletricamente neutros são, portanto, menos limitados do que os campos carregados. Sob a conjugação de carga, as duas fases globais livres aparecem nos termos de massa (já que são invariantes de Lorentz) e, portanto, a massa de Majorana é descrita por uma matriz complexa, em vez de um único número. Resumindo, as simetrias discretas da equação de Majorana são consideravelmente mais complicadas do que as da equação de Dirac , onde a carga elétrica $U(1)$ a simetria restringe e remove essas liberdades.

Definição [ editar ]

A equação de Majorana pode ser escrita em várias formas distintas:

Como a equação de Dirac escrita de forma que o operador de Dirac seja puramente Hermitiano, dando assim soluções puramente reais.
Como um operador que relaciona um spinor de quatro componentes ao seu conjugado de carga .
Como uma equação diferencial 2 × 2 atuando em um spinor complexo de dois componentes, semelhante à equação de Weyl com um termo de massa propriamente covariante de Lorentz . ^[2]^[3]^[4]^[5]

Essas três formas são equivalentes e podem ser derivadas uma da outra. Cada um oferece uma visão ligeiramente diferente sobre a natureza da equação. A primeira forma enfatiza que soluções puramente reais podem ser encontradas. A segunda forma esclarece o papel da conjugação de carga . A terceira forma proporciona o contato mais direto com a teoria da representação do grupo de Lorentz .

Forma de quatro componentes puramente real [ editar ]

O ponto de partida convencional é afirmar que "a equação de Dirac pode ser escrita na forma Hermitiana", quando as matrizes gama são tomadas na representação de Majorana . A equação de Dirac é então escrita como ^[6]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\left(\,-i\,{\frac {\partial }{\partial t}}-i\,{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta \,m\,\right)\,\psi =0

com ${\hat {\alpha }}$ sendo matrizes simétricas 4 × 4 puramente reais, e $\beta$ sendo puramente imaginária assimetricamente simétrica; conforme necessário para garantir que o operador (a parte dentro dos parênteses) seja hermitiano. Neste caso, soluções puramente reais de 4-espinos para a equação podem ser encontradas; estes são os espinores de Majorana .

Forma de quatro componentes de carga conjugada [ editar ]

A equação de Majorana é

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi -m\,\psi _{c}=0~

com o operador derivativo ${\partial \!\!\!{\big /}}$ escrito em notação de barra de Feynman para incluir as matrizes gama , bem como um somatório sobre os componentes do spinor. o espinor ${\textstyle \,\psi _{c}\,}$ é a carga conjugada de ${\textstyle \,\psi \,.}$ Por construção, os conjugados de carga são necessariamente dados por

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\psi _{c}=\eta _{c}\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}~

onde $\,(\cdot )^{\mathsf {T}}\,$ denota a transposta , $\,\eta _{c}\,$ é um fator de fase arbitrário $\,|\eta _{c}|=1\,,$ convencionalmente tomado como $\,\eta _{c}=1\,,$ e $\,C\,$ é uma matriz 4×4, a matriz de conjugação de cargas . A representação matricial de $\,C\,$ depende da escolha da representação das matrizes gama . Por convenção, o spinor conjugado é escrito como

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\,\gamma ^{0}~.

Um número de identidades algébricas seguem da matriz de conjugação de carga $� .$ ^[a] Afirma-se que em qualquer representação das matrizes gama , incluindo as representações de Dirac, Weyl e Majorana, que $\,C\,\gamma _{\mu }=-\gamma _{\mu }^{\mathsf {T}}\,C\,$ e assim pode-se escrever

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\psi _{c}=-\eta _{c}\,\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}~

onde $\,\psi ^{*}\,$ é o conjugado complexo de $\,\psi \,.$ A matriz de conjugação de cargas $\,C\,$ também tem a propriedade que

C^{-1}=C^{\dagger }=C^{\mathsf {T}}=-C

em todas as representações (Dirac, quiral, Majorana). A partir disso, e um pouco de álgebra, pode-se obter a equação equivalente:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0

Prova

Esta forma não é totalmente óbvia e, portanto, merece uma prova. Começando com

-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,\psi _{c}=0

Expandir $\,\psi _{c}=C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}\,$ :

-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}=0

Multiplique por $\,C\,$ usar $\,C^{2}=-1\,$ :

-i\,C\,{\partial \!\!\!{\big /}}C^{-1}\,C\,\psi -m\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}=0

A conjugação de carga transpõe as matrizes gama:

+i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\mathsf {T}}\,C\,\psi -m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\mathsf {T}}\,\psi ^{*}=0

Pegue o complexo conjugado:

-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger }C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }\,\psi =0

O Matrix $\,\gamma ^{0}\,$ é hermitiano, $\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\,$ em todas as três representações (Dirac, quiral, Majorana):

-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger }C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0

É também uma involução , tomando o conjugado hermitiano : $\,\gamma ^{0}\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{0}=\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }$

-i\,\gamma ^{0}\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0}\,C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0

Multiplique por $\,\gamma ^{0}\,$ , Observe que $\,\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I\,$ e fazer uso de $\,C^{*}=C\,$ :

-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}-m\,\psi =0

O acima é apenas a definição do conjugado, então conclua que

i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0

Uma discussão detalhada da interpretação física da matriz $�$ como conjugação de carga pode ser encontrada no artigo sobre conjugação de carga . Em suma, está envolvido no mapeamento de partículas para suas antipartículas , o que inclui, entre outras coisas, a reversão da carga elétrica . Embora $\psi ^{c}$ é definido como "o conjugado de carga" de $\psi ,$ o operador de conjugação de carga não tem um, mas dois autovalores. Isto permite definir um segundo espinor, o espinor ELKO . Isto é discutido em maior detalhe abaixo.

Forma complexa de dois componentes [ editar ]

O operador de Majorana , $\,\mathrm {D} _{\text{L}}\,,$ é definido como

\mathrm {D} _{\text{L}}\equiv i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }+\eta \,m\,\omega \,K

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

onde

{\overline {\sigma }}^{\mu }={\begin{bmatrix}\sigma ^{0}&-\sigma ^{1}&-\sigma ^{2}&-\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{2}&-\sigma _{\text{x}}&-\sigma _{\text{y}}&-\sigma _{\text{z}}\end{bmatrix}}

é um vetor cujos componentes são a matriz identidade 2×2 $\,I_{2}\,$ para $\,\mu =0\,$ e (menos) as matrizes de Pauli para $\,\mu \in \{1,\,2,\,3\}\,.$ O $\,\eta \,$ é um fator de fase arbitrário, $\,|\eta |=1\,,$ normalmente considerado como um: $\,\eta =1\,.$ O $\,\omega \,$ é uma matriz 2 × 2 que pode ser interpretada como a forma simplética para o grupo simplético $\,\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )\,,$ que é uma cobertura dupla do grupo Lorentz . Isso é

\omega =i\,\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~,

que passa a ser isomorfo à unidade imaginária " $i$ " (ou seja $\omega ^{2}=-I\,$ e $\,a\,I+b\,\omega \cong a+b\,i\in \mathbb {C} \,$ para $\,a,b\in \mathbb {R}$ ) com a matriz transposta sendo o análogo da conjugação complexa .

finalmente, o $\,K\,$ é um lembrete abreviado para tomar o complexo conjugado. A equação de Majorana para um spinor de dois componentes de valor complexo canhoto $\,\psi _{\text{L}}\,$ é então

\mathrm {D} _{\text{L}}\psi _{\text{L}}=0

ou equivalente,

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }\psi _{\text{L}}(x)+\eta \,m\,\omega \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)=0

com $\,\psi _{\text{L}}^{*}(x)\,$ o complexo conjugado de $\,\psi _{\text{L}}(x)\,.$ O subscrito $L$ é usado ao longo desta seção para denotar um spinor quiral canhoto ; sob uma transformação de paridade , isso pode ser levado a um spinor destro e, portanto, também se tem uma forma destra da equação. Isso também se aplica à equação de quatro componentes; mais detalhes são apresentados a seguir.

Ideias-chave [ editar ]

Algumas das propriedades da equação de Majorana, sua solução e sua formulação lagrangiana são resumidas aqui.

A equação de Majorana é semelhante à equação de Dirac , no sentido de que envolve espinores de quatro componentes, matrizes gama e termos de massa, mas inclui o conjugado de carga ${\textstyle \psi _{c}}$ de um espinor ${\textstyle \psi }$ . Em contraste, a equação de Weyl é para spinor de dois componentes sem massa.
As soluções para a equação de Majorana podem ser interpretadas como partículas eletricamente neutras que são suas próprias antipartículas. Por convenção, o operador de conjugação de carga leva as partículas às suas antipartículas e, portanto, o espinor de Majorana é convencionalmente definido como a solução em que $\psi =\psi _{c}.$ Ou seja, o espinor Majorana é "sua própria antipartícula". Na medida em que a conjugação de carga leva uma partícula eletricamente carregada à sua antipartícula com carga oposta, deve-se concluir que o espinor de Majorana é eletricamente neutro.
A equação de Majorana é covariante de Lorentz , e uma variedade de escalares de Lorentz pode ser construída a partir de seus espinores. Isso permite que vários lagrangianos distintos sejam construídos para campos de Majorana.
Quando o Lagrangiano é expresso em termos de espinores quirais esquerdo e direito de dois componentes , ele pode conter três termos de massa distintos: termos de massa de Majorana esquerdo e direito e um termo de massa de Dirac. Estes se manifestam fisicamente como duas massas distintas; esta é a ideia-chave do mecanismo de gangorra para descrever neutrinos de baixa massa com um acoplamento canhoto ao modelo padrão, com o componente destro correspondendo a um neutrino estéril em massas de escala GUT .
As simetrias discretas da conjugação de C , P e T são intimamente controladas por um fator de fase escolhido livremente no operador de conjugação de carga . Isso se manifesta como fases complexas distintas nos termos de massa. Isso permite que Lagrangianos CP-simétricos e CP-violadores sejam escritos.
Os campos de Majorana são invariantes CPT , mas a invariância é, em certo sentido, "mais livre" do que para partículas carregadas. Isso ocorre porque a carga é necessariamente uma propriedade invariante de Lorentz e, portanto, é restrita a campos carregados. Os campos neutros de Majorana não são restritos dessa maneira e podem se misturar.

Equação de Majorana de dois componentes [ editar ]

A equação de Majorana pode ser escrita em termos de um spinor real de quatro componentes e como um spinor complexo de dois componentes. Ambos podem ser construídos a partir da equação de Weyl , com a adição de um termo de massa propriamente covariante de Lorentz. ^[7] Esta seção fornece uma construção e articulação explícitas.

Equação de Weyl [ editar ]

A equação de Weyl descreve a evolução temporal de um spinor de dois componentes de valor complexo sem massa . É convencionalmente escrito como ^[8]^[9]^[10]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0

Escrito explicitamente, é

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

I_{2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0

O quadrivetor de Pauli é

\sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}

isto é, um vetor cujos componentes são a matriz identidade 2 × 2 $I_{2}$ para μ = 0 e as matrizes de Pauli para μ = 1, 2, 3. Sob a transformação de paridade ${\vec {x}}\to {\vec {x}}^{\prime }=-{\vec {x}}$ obtém-se uma equação dupla

{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0

onde ${\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}$ . Estas são duas formas distintas da equação de Weyl; suas soluções também são distintas. Pode-se mostrar que as soluções têm helicidade esquerda e direita e, portanto, quiralidade . É convencional rotular essas duas formas distintas explicitamente, assim:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0\qquad {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.

Invariância de Lorentz [ editar ]

A equação de Weyl descreve uma partícula sem massa; a equação de Majorana adiciona um termo de massa. A massa deve ser introduzida de forma invariante de Lorentz . Isso é obtido observando que o grupo linear especial $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ é isomorfo ao grupo simplético $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} ).$ Ambos os grupos são capas duplas do grupo Lorentz $\operatorname {SO} (1,3).$ A invariância de Lorentz do termo derivado (da equação de Weyl) é expressa convencionalmente em termos da ação do grupo $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ em espinores, enquanto a invariância de Lorentz do termo de massa requer a invocação da relação definidora para o grupo simplético.

A dupla cobertura do grupo de Lorentz é dada por

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }

onde $\Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)$ e $S\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ e $S^{\dagger }$ é a transposta hermitiana . Isso é usado para relacionar as propriedades de transformação dos diferenciais sob uma transformação de Lorentz $x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x$ às propriedades de transformação dos espinores.

O grupo simplético $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )$ é definido como o conjunto de todas as matrizes 2 × 2 complexas $�$ que satisfaz

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\omega ^{-1}S^{\textsf {T}}\omega =S^{-1}

onde

\omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}

é uma matriz simétrica . É usado para definir uma forma bilinear simplética em $\mathbb {C} ^{2}.$ Escrevendo um par de dois vetores arbitrários $u,v\in \mathbb {C} ^{2}$ como

u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}\qquad v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}

o produto simplético é

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v

onde $u^{\textsf {T}}$ é a transposição de $você .$ Esta forma é invariante nas transformações de Lorentz, em que

\langle u,v\rangle =\langle Su,Sv\rangle

A matriz de inclinação leva as matrizes de Pauli para menos sua transposta:

\omega \sigma _{k}\omega ^{-1}=-\sigma _{k}^{\textsf {T}}

para $k=1,2,3.$ A matriz de inclinação pode ser interpretada como o produto de uma transformação de paridade e uma transposição atuando em dois espinores. No entanto, como será enfatizado em uma seção posterior, ele também pode ser interpretado como um dos componentes do operador de conjugação de carga , sendo o outro componente a conjugação complexa . Aplicando-o aos rendimentos da transformação de Lorentz

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}

Essas duas variantes descrevem as propriedades de covariância dos diferenciais atuando nos espinores esquerdo e direito, respectivamente.

Diferenciais [ editar ]

Sob a transformação de Lorentz $x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x$ o termo diferencial se transforma como

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)

desde que o campo de mão direita se transforme como

\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)

Da mesma forma, a diferencial esquerda se transforma como

{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}(x^{\prime })=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)

desde que o spinor canhoto se transforme como

\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)

Prova

Essas propriedades de transformação não são particularmente "óbvias" e, portanto, merecem uma derivação cuidadosa. Comece com o formulário

\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=R\psi _{\rm {R}}(x)

para algum desconhecido $R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ estar determinado. A transformada de Lorentz, em coordenadas, é

x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }

ou equivalente,

x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }

Isto leva a

{\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}

Para fazer uso do mapa de Weyl

\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}

alguns índices devem ser elevados e reduzidos. Isso é mais fácil dizer do que fazer, pois invoca a identidade

\eta \Lambda ^{T}\eta =\Lambda ^{-1}

onde $\eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)$ é a métrica de Minkowski de espaço plano . A identidade acima é freqüentemente usada para definir os elementos $\Lambda \in \operatorname {SO} (1,3).$ Alguém faz a transposta:

{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1T}\right)_{\mu }}^{\nu }

escrever

{\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1T}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}

Assim, recupera-se a forma original se $S^{-1}R=1,$ aquilo é, $R=S.$ Realizando as mesmas manipulações para a equação da mão esquerda, conclui-se que

\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=L\psi _{\rm {L}}(x)

com $L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.$ ^[b]

Termo de massa [ editar ]

O complexo conjugado do campo de spinor destro se transforma como

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)

O relacionamento definidor para $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )$ pode ser reescrito como $\omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega \,.$ A partir disso, conclui-se que o campo skew-complexo se transforma como

m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)

Isso é totalmente compatível com a propriedade de covariância do diferencial. Tirando $\eta =e^{i\phi }$ para ser um fator de fase complexo arbitrário, a combinação linear

i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)

transforma de forma covariante. Definir isso como zero fornece a complexa equação de Majorana de dois componentes para o campo destro. Da mesma forma, a equação de Majorana quiral à esquerda (incluindo um fator de fase arbitrário $\zeta$ ) é

i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0

As versões quirais esquerda e direita são relacionadas por uma transformação de paridade . Como mostrado abaixo, eles se ajustam ao operador Klein-Gordon somente se $\eta =\zeta .$ O conjugado complexo enviesado $\omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi$ pode ser reconhecida como a forma de carga conjugada de $\psi ~;$ isso é articulado com mais detalhes abaixo. Assim, a equação de Majorana pode ser lida como uma equação que conecta um spinor à sua forma de carga conjugada.

Operadores Majorana esquerdo e direito [ editar ]

Defina um par de operadores, os operadores Majorana,

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}&=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K&\mathrm {D} _{\rm {R}}&=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\end{aligned}}

onde $�$ é um lembrete abreviado para tomar o complexo conjugado. Sob as transformações de Lorentz, elas se transformam como

{\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {L}}^{\prime }&=S\mathrm {D} _{\rm {L}}S^{\dagger }&\mathrm {D} _{\rm {R}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {R}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\mathrm {D} _{\rm {R}}S^{-1}\end{aligned}}

Considerando que os espinores de Weyl se transformam como

{\begin{aligned}\psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}&\psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }&=S\psi _{\rm {R}}\end{aligned}}

assim como acima. Assim, as combinações combinadas destes são covariantes de Lorentz, e pode-se tomar

{\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}&=0&\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}&=0\end{aligned}}

como um par de equações complexas de Majorana de 2 espinor.

Os produtos $\mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}$ e $\mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}$ são ambos covariantes de Lorentz. O produto é explicitamente

\mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)

Verificar isso requer ter em mente que $\omega ^{2}=-1$ e essa $Ki=-iK~.$ O RHS reduz ao operador Klein-Gordon desde que $\eta \zeta ^{*}=1$ , aquilo é, $\eta =\zeta ~.$ Esses dois operadores Majorana são, portanto, "raízes quadradas" do operador Klein-Gordon.

Equação de Majorana de quatro componentes [ editar ]

A versão real de quatro componentes da equação de Majorana pode ser construída a partir da equação complexa de dois componentes como segue. Dado o campo complexo $\psi _{\rm {L}}$ satisfatório $\mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0$ como acima, defina

\chi _{\rm {R}}\equiv -\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}

Usando o maquinário algébrico dado acima, não é difícil mostrar que

\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K\right)\chi _{\rm {R}}=0

Definindo um operador conjugado

\delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K

A equação de Majorana de quatro componentes é então

\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)\left(\psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}\right)=0

Escrevendo isso em detalhes, tem-se

\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}={\begin{bmatrix}\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\\0&\delta _{\rm {R}}\end{bmatrix}}=i{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}\partial _{t}+i{\begin{bmatrix}-\sigma ^{k}&0\\0&\sigma ^{k}\end{bmatrix}}\nabla _{k}+m{\begin{bmatrix}\eta \omega K&0\\0&-\eta \omega K\end{bmatrix}}

Multiplicando à esquerda por

\beta =\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}}

traz o acima em uma forma de matriz em que as matrizes gama na representação quiral podem ser reconhecidas. Isso é

\beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)={\begin{bmatrix}0&\delta _{\rm {R}}\\\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\end{bmatrix}}=i\beta \partial _{t}+i{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\nabla _{k}-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}

Aquilo é,

\beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}

Aplicando isso ao 4-spinor

\psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\chi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}

e lembrando que $\omega ^{2}=-1$ descobre-se que o spinor é um autoestado do termo de massa,

{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}

e assim, para este spinor particular, a equação de Majorana de quatro componentes se reduz à equação de Dirac

\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right){\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}=0

A matriz de inclinação pode ser identificada com o operador de conjugação de carga (na base de Weyl ). Explicitamente, isso é

{\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}

Dado um spinor arbitrário de quatro componentes $\psi ~,$ sua carga conjugada é

{\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}=\eta C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}

com $�$ uma matriz 4 × 4 comum, tendo uma forma explicitamente dada no artigo sobre matrizes gama . Em conclusão, a equação de Majorana de 4 componentes pode ser escrita como

{\begin{aligned}0&=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi \\&=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi ^{c}\end{aligned}}

Conjugação de carga e paridade [ editar ]

O operador de conjugação de carga aparece diretamente na versão de 4 componentes da equação de Majorana. Quando o campo espinor é uma carga conjugada de si mesmo, isto é, quando $\psi ^{c}=\psi ,$ então a equação de Majorana se reduz à equação de Dirac, e qualquer solução pode ser interpretada como descrevendo um campo eletricamente neutro. No entanto, o operador de conjugação de carga não possui um, mas dois autoestados distintos, um dos quais é o spinor ELKO ; não resolve a equação de Majorana, mas sim uma versão invertida de sinal dela.

O operador de conjugação de carga ${\mathsf {C}}$ para um spinor de quatro componentes é definido como

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\mathsf {C}}\psi =\psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}

Uma discussão geral da interpretação física deste operador em termos de carga elétrica é dada no artigo sobre conjugação de carga . Discussões adicionais são fornecidas por Bjorken & Drell ^[11] ou Itzykson & Zuber. ^[c] Em termos mais abstratos, é o equivalente espinorial da conjugação complexa do $U(1)$ acoplamento do campo eletromagnético. Poderá ser visto da seguinte forma. Se alguém tem um único campo escalar real , ele não pode se acoplar ao eletromagnetismo; no entanto, um par de campos escalares reais, arranjados como um número complexo, pode. Para campos escalares, a conjugação de carga é a mesma que a conjugação complexa . As simetrias discretas $U(1)$ A teoria do gauge decorre da observação "trivial" de que

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

*:U(1)\to U(1)\quad e^{i\phi }\mapsto e^{-i\phi }

é um automorfismo de $U(1).$ Para campos espinoriais, a situação é mais confusa. Grosso modo, no entanto, pode-se dizer que o campo de Majorana é eletricamente neutro e que, tomando uma combinação apropriada de dois campos de Majorana, pode-se interpretar como um único campo de Dirac eletricamente carregado. O operador de conjugação de carga dado acima corresponde ao automorfismo de $U(1).$

No acima, $�$ é uma matriz 4×4, dada no artigo sobre as matrizes gama . Sua forma explícita é dependente da representação. O operador ${\mathsf {C}}$ não pode ser escrita como uma matriz 4 × 4, pois está tomando o conjugado complexo de $\psi$ , e a conjugação complexa não pode ser alcançada com uma matriz 4 × 4 complexa. Pode ser escrito como uma matriz 8 × 8 real, presumindo que também se escreva $\psi$ como um spinor de 8 componentes puramente real. De locação $�$ significa conjugação complexa, de modo que $K(x+iy)=x-iy,$ pode-se então escrever, para espinores de quatro componentes,

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\mathsf {C}}=-\eta \gamma ^{0}CK

Não é difícil mostrar que ${\mathsf {C}}^{2}=1$ e essa ${\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}=-\gamma ^{\mu }~.$ Segue da primeira identidade que ${\mathsf {C}}$ tem dois autovalores, que podem ser escritos como

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}

Os autovetores são prontamente encontrados na base de Weyl. Do exposto, nesta base, ${\mathsf {C}}$ é explicitamente

{\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}

e assim

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\psi _{\text{Weyl}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\mp \eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}

Ambos os autovetores são claramente soluções para a equação de Majorana. No entanto, apenas o autovetor positivo é uma solução para a equação de Dirac:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi ^{(+)}=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi ^{(+)}

O autovetor negativo "não funciona", tem o sinal incorreto no termo de massa de Dirac. Ainda resolve a equação de Klein-Gordon, no entanto. O autovetor negativo é denominado spinor ELKO .

Prova

Que ambos os autoestados resolvem a equação de Klein-Gordon decorre das identidades anteriores para as versões de dois componentes. Definindo, como antes,

\mathrm {D} _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\qquad \mathrm {D} _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K

Como foi mostrado anteriormente

\mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)

O espinor de quatro componentes requer a introdução de

\delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K\qquad \delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K

que também obedece

\delta _{\rm {R}}\delta _{\rm {L}}=\delta _{\rm {L}}\delta _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)

Portanto

\left(\mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm {L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=-\left(\square +m^{2}\right)

A representação quiral requer um fator extra de $\beta =\gamma ^{0}$ :

\beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\qquad \beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}

e assim se conclui que

\left(\mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm {L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}\right)\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)=-\left(\square +m^{2}\right)

Ou seja, ambos os autovetores do operador de conjugação de carga resolvem a equação de Klein–Gordon. A última identidade também pode ser verificada diretamente, observando que ${\mathsf {C}}i=-i{\mathsf {C}}$ e essa ${\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }=-\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}~.$

Paridade [ editar ]

Sob paridade, os spinores canhotos se transformam em spinores destros. Os dois autovetores do operador de conjugação de carga, novamente na base de Weyl, são

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\psi _{\rm {{R},{\text{Weyl}}}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\pm \eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}

Como antes, ambos resolvem a equação de Majorana de quatro componentes, mas apenas um também resolve a equação de Dirac. Isso pode ser demonstrado pela construção da equação de quatro componentes de paridade dupla. Isso toma a forma

\beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}

onde

\delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K

Dado o spinor de dois componentes $\psi _{\rm {R}}$ defina seu conjugado como $\chi _{\rm {L}}=-\eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}.$ Não é difícil mostrar que $\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=-\eta \omega (\delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}})$ e que, portanto, se $\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0$ então também $\delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}}=0$ e portanto que

0=\left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)\left(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}\right)

ou equivalente

0=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}){\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}

Isso funciona, porque ${\mathsf {C}}(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})=-(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})$ e isso se reduz à equação de Dirac para

\psi _{{\rm {R}},{\text{Weyl}}}^{(-)}=\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}

Para concluir e reiterar, a equação de Majorana é

0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi =i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi _{c}

Possui quatro soluções inequivalentes e linearmente independentes, $\psi _{\rm {L,R}}^{(\pm )}.$ Destes, apenas dois também são soluções para a equação de Dirac: ou seja, $\psi _{\rm {L}}^{(+)}$ e $\psi _{\rm {R}}^{(-)}~.$

Soluções [ editar ]

Girar auto-estados [ editar ]

Um ponto de partida conveniente para escrever as soluções é trabalhar no modo de quadro de repouso dos spinors. Escrevendo o hamiltoniano quântico com a convenção de sinal convencional $H=i\partial _{t}$ leva à equação de Majorana assumindo a forma

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

i\partial _{t}\psi =-i{\vec {\alpha }}\cdot \nabla \psi +m\beta \psi _{c}

Na base quiral (Weyl), tem-se que

\gamma ^{0}=\beta ={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},\quad {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}{\vec {\sigma }}&0\\0&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}

com ${\vec {\sigma }}$ o vetor de Pauli . A convenção de sinais aqui é consistente com as matrizes gama do artigo . Conectando o autoestado de conjugação de carga positiva $\psi _{\text{Weyl}}^{(+)}$ dado acima, obtém-se uma equação para o spinor de dois componentes

i\partial _{t}\psi _{\rm {L}}=-i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla \psi _{\rm {L}}+m(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})

e da mesma forma

i\partial _{t}(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})=+i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla (i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})+m\psi _{\rm {L}}

Estas duas são de fato a mesma equação, o que pode ser verificado observando que $\sigma _{2}$ produz o complexo conjugado das matrizes de Pauli:

\sigma _{2}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sigma _{2}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}^{*}.

As soluções de ondas planas podem ser desenvolvidas para a energia-momento $\left(k_{0},{\vec {k}}\right)$ e são mais facilmente declarados no quadro de descanso. A solução de quadro de descanso spin-up é

\psi _{\rm {L}}^{(u)}={\begin{pmatrix}e^{-imt}\\e^{imt}\end{pmatrix}}

enquanto a solução spin-down é

\psi _{\rm {L}}^{(d)}={\begin{pmatrix}e^{imt}\\-e^{-imt}\end{pmatrix}}

Que estes estão sendo interpretados corretamente pode ser visto re-expressando-os na base de Dirac, como spinors de Dirac . Neste caso, eles assumem a forma

\psi _{\text{Dirac}}^{(u)}={\begin{bmatrix}e^{-imt}\\0\\0\\-e^{imt}\end{bmatrix}}

\psi _{\text{Dirac}}^{(d)}={\begin{bmatrix}0\\e^{-imt}\\-e^{imt}\\0\end{bmatrix}}

Estes são os spinores de estrutura de descanso. Eles podem ser vistos como uma combinação linear das soluções de energia positiva e negativa para a equação de Dirac. Estas são as duas únicas soluções; a equação de Majorana tem apenas duas soluções linearmente independentes, ao contrário da equação de Dirac, que tem quatro. A duplicação dos graus de liberdade da equação de Dirac pode ser atribuída aos spinores de Dirac carregando carga.

Autoestados de momento [ editar ]

Em um quadro de momento geral, o spinor de Majorana pode ser escrito como

Carga elétrica [ editar ]

A aparência de ambos ${\textstyle \psi }$ e ${\textstyle \psi _{c}}$ na equação de Majorana significa que o campo ${\textstyle \psi }$ não pode ser acoplado a um campo eletromagnético carregado sem violar a conservação de carga , uma vez que as partículas têm carga oposta às suas próprias antipartículas. Para satisfazer esta restrição, ${\textstyle \psi }$ devem ser consideradas eletricamente neutras. Isso pode ser articulado com mais detalhes.

A equação de Dirac pode ser escrita em uma forma puramente real, quando as matrizes gama são tomadas na representação de Majorana. A equação de Dirac pode então ser escrita como ^[d]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\left(-i{\frac {\partial }{\partial t}}-i{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m\right)\psi =0

com ${\hat {\alpha }}$ sendo matrizes simétricas puramente reais, e $\beta$ sendo puramente imaginária simétrica. Neste caso, soluções puramente reais para a equação podem ser encontradas; estes são os espinores de Majorana. Sob a ação das transformações de Lorentz , estas se transformam sob o grupo de spin (puramente real) $\operatorname {Spin} (1,3).$ Isso contrasta com os espinores de Dirac , que são apenas covariantes sob a ação do grupo de spin complexificado $\operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(1,3).$ A interpretação é que o grupo de spin complexo codifica o potencial eletromagnético, o grupo de spin real não.

Isso também pode ser declarado de uma maneira diferente: a equação de Dirac e os espinores de Dirac contêm uma quantidade suficiente de liberdade de calibre para codificar naturalmente as interações eletromagnéticas. Isso pode ser visto observando que o potencial eletromagnético pode ser adicionado de maneira muito simples à equação de Dirac sem exigir nenhuma modificação ou extensão adicional na equação ou no spinor. A localização desse grau extra de liberdade é indicada pelo operador de conjugação de carga e a imposição da restrição de Majorana ${\textstyle \psi =\psi _{c}}$ remove esse grau extra de liberdade. Uma vez removido, não pode haver qualquer acoplamento ao potencial eletromagnético, portanto, o espinor de Majorana é necessariamente eletricamente neutro. Um acoplamento eletromagnético só pode ser obtido adicionando novamente um fator de fase com valor de número complexo e acoplando esse fator de fase ao potencial eletromagnético.

O que foi dito acima pode ser ainda mais aguçado examinando a situação em $(p,q)$ dimensões espaciais. Neste caso, o grupo de spin complexificado $\operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)$ tem uma cobertura dupla por $\operatorname {SO} (p,q)\times S^{1}$ com $S^{1}\cong U(1)$ o circulo. A implicação é que $\operatorname {SO} (p,q)$ codifica as transformações de Lorentz generalizadas (claro), enquanto o círculo pode ser identificado com o $\mathrm {U} (1)$ ação do grupo de calibre sobre cargas elétricas. Ou seja, a ação do grupo de calibre do grupo de spin complexificado em um spinor de Dirac pode ser dividida em uma parte lorentziana puramente real e uma parte eletromagnética. Isso pode ser mais elaborado em variedades de spin não planas (não Minkowski planas) . Nesse caso, o operador de Dirac atua no fibrado de spinor . Decomposto em termos distintos, inclui a derivada covariante usual $d+A.$ O $�$ campo pode ser visto como surgindo diretamente da curvatura da parte complexificada do feixe de spin, em que as transformações de calibre se acoplam à parte complexificada, e não à parte real-espinor. Que o $�$ campo corresponde ao potencial eletromagnético pode ser visto observando que (por exemplo) o quadrado do operador de Dirac é o Laplaciano mais a curvatura escalar $�$ (do coletor subjacente em que o campo spinor se encontra) mais a força do campo (eletromagnético) $F=dA.$ Para o caso de Majorana, tem-se apenas as transformações de Lorentz atuando no espinor de Majorana; a complexificação não desempenha nenhum papel. Um tratamento detalhado desses tópicos pode ser encontrado em Jost ^[12], enquanto o $(p,q)=(1,3)$ caso é articulado em Bleeker. ^[13] Infelizmente, nenhum dos textos articula explicitamente o espinor Majorana de forma direta.