MECÂNICA GRACELI GENER. - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [780]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

Na teoria quântica de campos , o spinor de Dirac é o spinor que descreve todas as partículas fundamentais conhecidas que são férmions , com a possível exceção dos neutrinos . Aparece na solução de onda plana para a equação de Dirac , e é uma certa combinação de dois espinores de Weyl , especificamente, um biespinor que se transforma "espinorialmente" sob a ação do grupo de Lorentz .

Os spinores de Dirac são importantes e interessantes de várias maneiras. Acima de tudo, eles são importantes porque descrevem todos os férmions de partículas fundamentais conhecidos na natureza ; isso inclui o elétron e os quarks . Algebricamente eles se comportam, em certo sentido, como a "raiz quadrada" de um vetor . Isso não é facilmente perceptível no exame direto, mas lentamente se tornou claro nos últimos 60 anos que as representações espinoriais são fundamentais para a geometria . Por exemplo, efetivamente todas as variedades Riemannianas podem ter espinores e conexões de spin construídas sobre elas, através da álgebra de Clifford . ^[1]O spinor de Dirac é específico do espaço-tempo de Minkowski e das transformações de Lorentz ; o caso geral é bastante semelhante.

Este artigo é dedicado ao spinor de Dirac na representação de Dirac . Isso corresponde a uma representação específica das matrizes gama e é mais adequado para demonstrar as soluções de energia positiva e negativa da equação de Dirac. Existem outras representações, principalmente a representação quiral , que é mais adequada para demonstrar a simetria quiral das soluções da equação de Dirac. Os espinores quirais podem ser escritos como combinações lineares dos espinores de Dirac apresentados abaixo; assim, nada se perde ou se ganha, a não ser uma mudança de perspectiva em relação às simetrias discretas das soluções.

O restante deste artigo é apresentado de maneira pedagógica, usando notações e convenções específicas para a apresentação padrão do spinor de Dirac em livros-texto sobre teoria quântica de campos. Ele se concentra principalmente na álgebra das soluções de ondas planas. A maneira como o espinor de Dirac se transforma sob a ação do grupo de Lorentz é discutida no artigo sobre bispinores .

Definição [ editar ]

O espinor de Dirac é o bispinor $u\left({\vec {p}}\right)$ no ansatz de onda plana

\psi (x)=u\left({\vec {p}}\right)\;e^{-ip\cdot x}

da equação de Dirac livre para um spinor com massa $�$ ,

\left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi (x)=0

que, em unidades naturais se torna

\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0

e com a notação de barra de Feynman pode ser escrita

\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi (x)=0

Uma explicação dos termos que aparecem no ansatz é dada abaixo.

O campo de Dirac é $\psi (x)$ , um campo relativístico de spin 1/2 , ou concretamente uma função no espaço de Minkowski $\mathbb {R} ^{1,3}$ valorizado em $\mathbb {C} ^{4}$ , uma função vetorial complexa de quatro componentes.
O spinor de Dirac relacionado a uma onda plana com vetor de onda ${\vec {p}}$ é $u\left({\vec {p}}\right)$ , a $\mathbb {C} ^{4}$ vetor que é constante em relação à posição no espaço-tempo, mas dependente do momento ${\vec {p}}$ .
O produto interno no espaço de Minkowski para vetores $�$ e $�$ é $p\cdot x\equiv p_{\mu }x^{\mu }\equiv E_{\vec {p}}t-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}$ .
O quadrimomento de uma onda plana é ${\textstyle p^{\mu }=\left(\pm {\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}},\,{\vec {p}}\right):=\left(\pm E_{\vec {p}},{\vec {p}}\right)}$ onde ${\vec {p}}$ é arbitrário,
Em um dado referencial inercial , as coordenadas são $x^{\mu }$ . Essas coordenadas parametrizam o espaço de Minkowski. Neste artigo, quando $x^{\mu }$ aparece em um argumento, o índice às vezes é omitido.

O spinor de Dirac para a solução de frequência positiva pode ser escrito como

u\left({\vec {p}}\right)={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{bmatrix}}\,,

onde

$\phi$ é um dois-espinor arbitrário, concretamente um $\mathbb {C} ^{2}$ vetor.
${\vec {\sigma }}$ é o vetor de Pauli ,
$E_{\vec {p}}$ é a raiz quadrada positiva ${\textstyle E_{\vec {p}}=+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}}$ . Para este artigo, o ${\vec {p}}$ subscrito às vezes é omitido e a energia simplesmente escrita $�$ .

Em unidades naturais, quando $m 2$ é adicionado a $p 2$ ou quando $m$ é adicionado a ${p\!\!\!/}$ , $m$ significa $mc$ em unidades ordinárias; quando $m$ é adicionado a $E$ , $m$ significa $mc 2$ em unidades comuns. Quando m é adicionado a $\partial _{\mu }$ ou para $\nabla$ Isso significa ${\textstyle {\frac {mc}{\hbar }}}$ (que é chamado de comprimento de onda Compton reduzido inverso ) em unidades comuns.

Derivação da equação de Dirac [ editar ]

A equação de Dirac tem a forma

\left(-i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }}+\beta m\right)\psi =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}

Para derivar uma expressão para o quadri-espinor $ω$ , as matrizes $α$ e $β$ devem ser dadas de forma concreta. A forma precisa que eles assumem depende da representação. Para a totalidade deste artigo, a representação de Dirac é usada. Nesta representação, as matrizes são

{\vec {\alpha }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&\mathbf {0} \end{bmatrix}}\quad \quad \beta ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {I} \end{bmatrix}}

Estas duas matrizes 4×4 estão relacionadas com as matrizes gama de Dirac . Observe que $0$ e $I$ são matrizes 2 × 2 aqui.

O próximo passo é procurar soluções da forma

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)},

enquanto ao mesmo tempo divide $ω$ em dois dois espinores:

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,.

Resultados [ editar ]

Usando todas as informações acima para inserir na equação de Dirac resulta em

E{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\mathbf {I} &{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-m\mathbf {I} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}.

Esta equação matricial é na verdade duas equações acopladas:

{\begin{aligned}\left(E-m\right)\phi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi \\\left(E+m\right)\chi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\phi \end{aligned}}

Resolva a 2ª equação para $χ$ e obtém-se

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}.

Observe que esta solução precisa ter ${\textstyle E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ para que a solução seja válida em um referencial onde a partícula tenha ${\vec {p}}={\vec {0}}$ .

Derivação do sinal da energia neste caso. Consideramos o termo potencialmente problemático ${\textstyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi }$ .

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

Se ${\textstyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$ , claramente ${\textstyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0}$ como ${\vec {p}}\rightarrow {\vec {0}}$ .
Por outro lado, deixe ${\textstyle E=-{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$ , ${\vec {p}}=p{\hat {n}}$ com ${\hat {n}}$ um vetor unitário e deixe $p\rightarrow 0$ .

{\begin{aligned}E=-m{\sqrt {1+{\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}&\rightarrow -m\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m^{2}}}\right)\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}&\rightarrow p{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\hat {n}}}{-m-{\frac {p^{2}}{2m}}+m}}\propto {\frac {1}{p}}\rightarrow \infty \end{aligned}}

Portanto, a solução negativa claramente deve ser omitida, e ${\textstyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$ . Derivação final.

Juntando essas peças, a solução completa de energia positiva é escrita convencionalmente como

\psi ^{(+)}=u^{(\phi )}({\vec {p}})e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}

O acima introduz um fator de normalização ${\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}},}$ derivados na próxima seção.

Resolvendo em vez disso a 1ª equação para $\phi$ um conjunto diferente de soluções é encontrado:

\omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,.

Nesse caso, é preciso impor que ${\textstyle E=-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ para que esta solução seja válida em um referencial onde a partícula tenha ${\vec {p}}={\vec {0}}$ . A prova segue analogamente ao caso anterior. Esta é a chamada solução de energia negativa . Às vezes, pode ser confuso carregar uma energia explicitamente negativa e, portanto, é convencional inverter o sinal da energia e do momento e escrever isso como

\psi ^{(-)}=v^{(\chi )}({\vec {p}})e^{ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}

Em desenvolvimento posterior, o $\psi ^{(+)}$ As soluções do tipo são referidas como as soluções de partículas , descrevendo uma partícula de spin 1/2 de massa positiva transportando energia positiva, e o $\psi ^{(-)}$ As soluções do tipo são chamadas de soluções antipartículas , novamente descrevendo uma partícula de spin 1/2 de massa positiva, novamente carregando energia positiva. No quadro de laboratório, ambos são considerados como tendo massa positiva e energia positiva, embora ainda sejam muito duais entre si, com o sinal invertido na onda plana da antipartícula sugerindo que ela está "viajando para trás no tempo". A interpretação de "tempo para trás" é um pouco subjetiva e imprecisa, chegando a acenar quando a única evidência são essas soluções. Ele ganha evidências mais fortes ao considerar o campo de Dirac quantizado. Um significado mais preciso para esses dois conjuntos de soluções serem "opostos um ao outro" é dado na seção sobre conjugação de cargas , abaixo.

Base quiral [ editar ]

Na representação quiral para $\gamma ^{\mu }$ , o espaço de solução é parametrizado por um $\mathbb {C} ^{2}$ vetor $\xi$ , com solução de Dirac spinor

u(\mathbf {p} )={\begin{pmatrix}{\sqrt {\sigma \cdot p}}\,\xi \\{\sqrt {{\bar {\sigma }}\cdot p}}\,\xi \end{pmatrix}}

onde $\sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),~{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})$ são 4-vetores de Pauli e ${\sqrt {\cdot }}$ é a raiz quadrada da matriz hermitiana.

Orientação de giro [ editar ]

Dois espinós [ editar ]

Na representação de Dirac, as definições mais convenientes para os dois espinores são:

\phi ^{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad \quad \phi ^{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}

\chi ^{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\quad \quad \chi ^{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}

uma vez que estes formam uma base ortonormal em relação a um produto interno (complexo).

Matrizes de Pauli [ editar ]

As matrizes de Pauli são

\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

Usando-os, obtém-se o que às vezes é chamado de vetor de Pauli :

{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}=\sigma _{1}p_{1}+\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{3}={\begin{bmatrix}p_{3}&p_{1}-ip_{2}\\p_{1}+ip_{2}&-p_{3}\end{bmatrix}}

Ortogonalidade [ editar ]

Os espinores de Dirac fornecem um conjunto completo e ortogonal de soluções para a equação de Dirac. ^[2]^[3] Isso é mais facilmente demonstrado escrevendo os espinores no quadro de repouso, onde isso se torna óbvio, e então aumentando para um quadro de coordenadas de Lorentz arbitrário. No referencial de repouso, onde o tri-momento desaparece: ${\vec {p}}={\vec {0}},$ pode-se definir quatro espinores

u^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad u^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}

Apresentando a notação de barra de Feynman

{p\!\!\!/}=\gamma ^{\mu }p_{\mu }

os spinores impulsionados podem ser escritos como

u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi ^{(s)}\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{(s)}\end{bmatrix}}

v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi ^{(s)}\\\chi ^{(s)}\end{bmatrix}}

Os espinores conjugados são definidos como ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ que pode ser mostrado para resolver a equação

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

////// de Dirac conjugada

{\overline {\psi }}(i{\partial \!\!\!/}+m)=0

com a derivada entendida como agindo para a esquerda. Os espinores conjugados são então

{\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}

{\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}

A normalização escolhida aqui é tal que o invariante escalar ${\overline {\psi }}\psi$ realmente é invariante em todos os quadros de Lorentz. Especificamente, isso significa

{\begin{aligned}{\overline {u}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=\delta _{ab}&{\overline {u}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=0\\{\overline {v}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=-\delta _{ab}&{\overline {v}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=0\end{aligned}}

Completude [ editar ]

Os quatro espinores de quadro de descanso $u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),$ $\;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)$ indicam que há quatro soluções distintas, reais e linearmente independentes para a equação de Dirac. Que elas são de fato soluções pode ficar claro observando que, quando escrita no espaço de momentos, a equação de Dirac tem a forma

({p\!\!\!/}-m)u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0

({p\!\!\!/}+m)v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0

Isso segue porque

{p\!\!\!/}{p\!\!\!/}=p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}

que por sua vez decorre das relações anti-comutação para as matrizes gama :

\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }

com $\eta ^{\mu \nu }$ o tensor métrico no espaço plano (no espaço curvo, as matrizes gama podem ser vistas como uma espécie de vielbein , embora isso esteja além do escopo do artigo atual). Talvez seja útil observar que a equação de Dirac, escrita no referencial restante, assume a forma

\left(\gamma ^{0}-1\right)u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0

\left(\gamma ^{0}+1\right)v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0

de modo que os espinores do quadro de repouso possam ser interpretados corretamente como soluções para a equação de Dirac. Há quatro equações aqui, não oito. Embora os 4-espinores sejam escritos como quatro números complexos, sugerindo assim 8 variáveis reais, apenas quatro deles possuem independência dinâmica; os outros quatro não têm significado e sempre podem ser parametrizados. Ou seja, pode-se tomar cada um dos quatro vetores $u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),$ $\;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)$ e multiplique cada um por uma fase global distinta $e^{i\eta }.$ Esta fase não muda nada; pode ser interpretado como uma espécie de liberdade de medida global. Isso não quer dizer que "fases não importam", como é claro que importam; a equação de Dirac deve ser escrita na forma complexa, e as fases se acoplam ao eletromagnetismo. As fases têm até um significado físico, como implica o efeito Aharonov-Bohm : o campo de Dirac, acoplado ao eletromagnetismo, é um feixe de fibras U(1) (o feixe circular ), e o efeito Aharonov-Bohm demonstra a holonomia desse feixe. Tudo isso não tem impacto direto na contagem do número de componentes distintos do campo de Dirac. Em qualquer cenário, existem apenas quatro componentes reais e distintos.

Com uma escolha adequada das matrizes gama, é possível escrever a equação de Dirac de forma puramente real, tendo apenas soluções reais: esta é a equação de Majorana . No entanto, ele tem apenas duas soluções linearmente independentes. Essas soluções não combinam com o eletromagnetismo; eles descrevem uma partícula massiva eletricamente neutra de spin 1/2. Aparentemente, o acoplamento ao eletromagnetismo dobra o número de soluções. Mas é claro que isso faz sentido: acoplar ao eletromagnetismo requer pegar um campo real e torná-lo complexo. Com algum esforço, a equação de Dirac pode ser interpretada como a equação de Majorana "complexificada". Isso é mais facilmente demonstrado em uma configuração geométrica genérica, fora do escopo deste artigo.

Matrizes de projeção de autoestado de energia [ editar ]

É convencional definir um par de matrizes de projeção $\Lambda _{+}$ e $\Lambda _{-}$ , que projetam os autoestados de energia positiva e negativa. Dado um quadro de coordenadas de Lorentz fixo (ou seja, um momento fixo), estes

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

////// são

{\begin{aligned}\Lambda _{+}(p)=\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}\otimes {\bar {u}}_{p}^{(s)}}&={\frac {{p\!\!\!/}+m}{2m}}\\\Lambda _{-}(p)=\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}\otimes {\bar {v}}_{p}^{(s)}}&={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{2m}}\end{aligned}}

Estes são um par de matrizes 4 × 4. Eles somam à matriz identidade:

\Lambda _{+}(p)+\Lambda _{-}(p)=I

são ortogonais

\Lambda _{+}(p)\Lambda _{-}(p)=\Lambda _{-}(p)\Lambda _{+}(p)=0

e são idempotentes

\Lambda _{\pm }(p)\Lambda _{\pm }(p)=\Lambda _{\pm }(p)

É conveniente notar seu traço:

\operatorname {tr} \Lambda _{\pm }(p)=2

Observe que o traço e as propriedades de ortonormalidade são independentes do referencial de Lorentz; estas são covariantes de Lorentz.

Conjugação de carga [ editar ]

A conjugação de carga transforma o espinor de energia positiva no espinor de energia negativa. A conjugação de carga é um mapeamento (uma involução ) $\psi \mapsto \psi _{c}$ tendo a forma explícita

\psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}

onde $(\cdot )^{\textsf {T}}$ denota a transposta, $�$ é uma matriz 4 × 4, e $\eta$ é um fator de fase arbitrário, $\eta ^{*}\eta =1.$ O artigo sobre conjugação de carga deriva da forma acima e demonstra por que a palavra "carga" é a palavra apropriada a ser usada: ela pode ser interpretada como a carga elétrica . Na representação de Dirac para as matrizes gama , a matriz $�$ pode ser escrito como

C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma _{2}\\-i\sigma _{2}&0\end{pmatrix}}

Assim, uma solução de energia positiva (eliminando o spin sobrescrito para evitar sobrecarga de notação)

\psi ^{(+)}=u\left({\vec {p}}\right)e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}

é levado ao seu conjugado de carga

\psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}i\sigma _{2}{\frac {{\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{*}\\-i\sigma _{2}\phi ^{*}\end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}

Observe os conjugados complexos dispersos. Estes podem ser consolidados com a identidade

\sigma _{2}\left({\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {k}}\right)\sigma _{2}=-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}

obter

\psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}

com o 2-spinor sendo

\chi =-i\sigma _{2}\phi ^{*}

Como isso tem exatamente a forma da solução de energia negativa, fica claro que a conjugação de carga troca as soluções de partícula e antipartícula. Observe que não apenas a energia é invertida, mas também o momento. Spin-up é transmutado em spin-down. Pode-se mostrar que a paridade também é invertida. A conjugação de carga é muito mais um emparelhamento de Dirac spinor ao seu "exatamente oposto".

A teoria dos buracos ou mar de Dirac (hole theory ou Dirac sea na designação em inglês), foi uma proposta de Paul Dirac para explicar as consequências físicas das soluções de sua equação (ver teoria quântica de campos (TQC), prevendo a existência de antipartículas).^[1]

Ele é um modelo teórico do vácuo que será considerado como um mar infinito de partículas com energia negativa. Dirac o desenvolveu em 1930 para tentar explicar o quantum anômala estados com energia negativa prevista pela equação de Dirac para elétrons relativísticos.^[2] Antes da sua descoberta experimental em 1932, o pósitron, a antipartícula do elétron, foi originalmente concebido como uma lacuna (ou "buraco") no mar de Dirac.

Origens

As origens do mar de Dirac estão no espectro de energia da equação de Dirac, uma extensão da equação de Schrödinger que é consistente com a relatividade especial, que Dirac havia formulado em 1928. Embora a equação tenha sido extremamente bem-sucedida na descrição da dinâmica eletrônica, ela possui uma característica bastante peculiar: para cada estado quântico que possui uma energia positiva E, há um estado correspondente com energia -E. Esta não é uma grande dificuldade quando um elétron isolado é considerado, porque sua energia é conservada e os elétrons de energia negativa podem ser deixados de fora. No entanto, surgem dificuldades quando os efeitos do campo eletromagnético são considerados, porque um elétron de energia positiva seria capaz de liberar energia emitindo continuamente fótons, um processo que poderia continuar sem limite à medida que o elétron desce para estados de energia mais baixos e mais baixos. Elétrons reais claramente não se comportam dessa maneira. A solução de Dirac para isso foi recorrer ao princípio de exclusão de Pauli. Os elétrons são férmions e obedecem ao princípio de exclusão, o que significa que dois elétrons não podem compartilhar um único estado de energia dentro de um átomo. Dirac formulou a hipótese de que o que pensamos ser o "vácuo" é, na verdade, o estado em que todos os estados de energia negativa são preenchidos e nenhum dos estados de energia positiva. Portanto, se quisermos introduzir um único elétron, teríamos que colocá-lo em um estado de energia positiva, pois todos os estados de energia negativa estão ocupados. Além disso, mesmo se o elétron perder energia emitindo fótons, seria proibido cair abaixo da energia zero. Dirac também apontou que uma situação pode existir na qual todos os estados de energia negativa estão ocupados, exceto um. Esse "buraco" no mar de elétrons de energia negativa responderia aos campos elétricos como se fosse uma partícula carregada positivamente. Inicialmente, Dirac identificou esse buraco como um próton. No entanto, Robert Oppenheimer apontou que um elétron e seu buraco seriam capazes de se aniquilar, liberando energia na ordem da energia do resto do elétron na forma de fótons energéticos; se buracos fossem prótons, átomos estáveis não existiriam.Hermann Weyl também observou que um buraco deve agir como se tivesse a mesma massa de um elétron, enquanto o próton é cerca de duas mil vezes mais pesado. A questão foi finalmente resolvida em 1932, quando o pósitron foi descoberto por Carl Anderson, com todas as propriedades físicas previstas para o buraco de Dirac.

Deselegância do mar de Dirac

Apesar de seu sucesso, a idéia do mar de Dirac tende a não impressionar as pessoas como muito elegantes. A existência do mar implica uma carga elétrica negativa infinita que preenche todo o espaço. Para fazer algum sentido disso, é preciso supor que o "vácuo vazio" deve ter uma densidade de carga positiva infinita que é exatamente cancelada pelo mar de Dirac. Como a densidade de energia absoluta é inobservável - a constante cosmológica de lado - a densidade de energia infinita do vácuo não representa um problema. Apenas mudanças na densidade de energia são observáveis. Geoffrey A. Landis em Ondulações no mar de Dirac também observa que a exclusão de Pauli não significa definitivamente que um mar cheio de Dirac não pode aceitar mais elétrons, uma vez que, como Hilbert elucidou, um mar de infinita extensão pode aceitar novas partículas, mesmo que seja preenchido. Isso acontece quando temos uma anomalia quiral e um calibre de instanton. O desenvolvimento da TQC na década de 1930 tornou possível reformular a equação de Dirac de uma maneira que trata o pósitron como uma partícula "real" em vez da ausência de uma partícula, e torna o vácuo o estado no qual não existem partículas em vez de um infinito mar de partículas. Esta imagem é muito mais convincente, especialmente porque recaptura todas as previsões válidas do mar de Dirac, como a aniquilação elétron-pósitron. Por outro lado, a formulação de campo não elimina todas as dificuldades levantadas pelo mar de Dirac; em particular o problema do vácuo que possui energia infinita.

Interpretação moderna

A interpretação do mar de Dirac e a interpretação moderna de TQC estão relacionadas com o que pode ser pensado como uma transformação muito simples de Bogoliubov, uma identificação entre os operadores de criação e aniquilação de duas diferentes teorias de campo livre. Na interpretação moderna, o campo operador para um spinor de Dirac é uma soma de operadores de criação e operadores de aniquilação, em uma notação esquemática:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

$\psi (x)=\sum a^{\nmid }(k)e^{ikx}+a(k)e^{-ikx}$

Um operador com frequência negativa reduz a energia de qualquer estado em uma quantidade proporcional à frequência, enquanto operadores com frequência positiva aumentam a energia de qualquer estado. Na interpretação moderna, os operadores de frequência positiva adicionam uma partícula de energia positiva, adicionando energia, enquanto os operadores de frequência negativa aniquilam uma partícula de energia positiva e diminuem a energia. Para um campo Fermiônico, o operador de criação dá zero quando o estado com momento k já está preenchido, enquanto o operador de aniquilação dá zero quando o estado com momento k está vazio. Mas, então, é possível reinterpretar o operador de aniquilação como um operador de criação de uma partícula de energia negativa. Ele ainda diminui a energia do vácuo, mas, desse ponto de vista, faz isso criando um objeto de energia negativa. Essa reinterpretação afeta apenas a filosofia. Para reproduzir as regras para quando a aniquilação no vácuo der zero, a noção de "vazio" e "preenchido" deve ser revertida para os estados de energia negativa. Em vez de estados sem antipartículas, esses estados já estão preenchidos com uma partícula de energia negativa.

O preço é que existe uma não-uniformidade em certas expressões, porque substituir a aniquilação pela criação adiciona uma constante ao número de partículas de energia negativa. O operador numérico para um campo de Fermi é:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

$N=a^{\nmid }a=1-aa^{\nmid }$

o que significa que se alguém substituir N por 1-N por estados de energia negativa, haverá uma mudança constante em quantidades como a energia e a densidade de carga, quantidades que contam o número total de partículas. A constante infinita dá ao mar de Dirac uma energia infinita e densidade de carga. A densidade de carga de vácuo deve ser zero, já que o vácuo é invariante de Lorentz, mas isso é artificial para se organizar na imagem de Dirac. A maneira como isso é feito é passar para a interpretação moderna. A idéia de Dirac é mais diretamente aplicável à física do estado sólido, onde a banda de valência em um sólido pode ser considerada como um "mar" de elétrons. De fato, os buracos neste mar ocorrem e são extremamente importantes para entender os efeitos dos semicondutores, embora eles nunca sejam referidos como "pósitrons". Ao contrário da física de partículas, existe uma carga positiva subjacente - a carga da rede iônica - que cancela a carga elétrica do mar.

Pesquisar este blog

MECÂNICA GRACELI GENER. - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [780]

Definição [ editar ]

Derivação da equação de Dirac [ editar ]

Resultados [ editar ]

Base quiral [ editar ]

Orientação de giro [ editar ]

Dois espinós [ editar ]

Matrizes de Pauli [ editar ]

Ortogonalidade [ editar ]

Completude [ editar ]

Matrizes de projeção de autoestado de energia [ editar ]

Conjugação de carga [ editar ]

Origens

Deselegância do mar de Dirac

Interpretação moderna

Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog